【変人】結城浩「数学ガール」から、1億円も名誉ある賞も断った天才が証明したポアンカレ予想を学ぶ

はじめに

この記事で取り上げる本

この記事の3つの要点

自己紹介記事

「数学ガール」の設定については以下の記事を読んでください。

結城浩『数学ガール　ポアンカレ予想』から、1億円も名誉ある賞も拒否したペレルマンが証明した「ポアンカレ予想」について学ぶ

まずはペレルマンについて

「数学ガール」シリーズ第6弾のテーマは、超難問として有名な「ポアンカレ予想」です。2000年にクレイ数学研究所が発表した「ミレニアム問題」の1つであり、7つある中で解決済みになっている唯一のものでもあります。数学の中でも非常に重要とされている予想で、ロシア人のペレルマンが証明したことで話題となりました。

まず、このペレルマンについて触れていきましょう。ロシア有数の数学者で、極度の人嫌いとしても知られています。

ある時、数学界に1つの噂が駆け巡ります。それは、「ポアンカレ予想の証明がネット上にある」というものです。

もちろんこれまでも、「ポアンカレ予想を証明した」という話は度々出ていましたが、その度に間違いだと判明するので、今回も数学者たちは半信半疑でその噂を耳にしたといいます。しかしその証明を行ったのがペレルマンだと知って色めき立つことになったのです。それぐらいペレルマンというのは、その実力が信頼されていた数学者だったということでしょう。

その後、長い年月を掛けた検証の結果、ペレルマンの証明は正しいことが明らかになりました。さてこれでペレルマンは1億円の賞金を手にできます。というのも、「ミレニアム問題」にはそれぞれ1億円の賞金が懸けられているからです。ただし、ペレルマンの証明はネットにアップされていただけで、学術誌に発表されていませんでした。そこで有志が、彼の主張を論文にまとめて代わりに学術誌に発表し、ペレルマンが権利を得られるように動くことになります。

さらにペレルマンは、フィールズ賞も受賞します。フィールズ賞は数学界のノーベル賞と言われ（ノーベル賞には数学部門がありません）、しかもノーベル賞と違い4年に1度しか発表されない、数学界トップの賞です。全数学者が憧れる、名誉ある賞なのです。

しかしペレルマンは1億円の受け取りを拒否し、フィールズ賞も辞退しました。長い歴史の中で、フィールズ賞を辞退した数学者はペレルマンただ1人です。今は、森でキノコ狩りをしながら暮らしているという真偽不明の噂があるだけで、その消息を知る者はほとんどいない状態になっています。

本書はそんなペレルマンが解き明かした「ポアンカレ予想」を扱った作品です。

「ポアンカレ予想」を説明してみる

数学には、有名な未解決問題（あるいは、未解決問題として有名だったもの）があります。そしてその中には、「問題自体は誰でも理解できる」というタイプのものも存在します。「フェルマーの最終定理」が、その最も有名な例でしょう。「ABC予想」や「ゴールドバッハ予想」なども、問題そのものは理解しやすいタイプだといえると思います。

しかし「ポアンカレ予想」は、そういうものとは真逆で、問題そのものが非常に理解しにくいです。

とりあえずまずは、数学的に正式な記述で「ポアンカレ予想」を説明してみましょう。

Mを3次元の閉多様体とする。Mの基本群が単位群に同型ならば、Mは3次元球面に同相である

というわけでここから、「ポアンカレ予想」とは一体どんな問題なのかについて具体的に書いていくことにします。

まず、こんな想像をしてみてください。あなたは今、地球ぐらい大きな物体の上に乗っているとします。そして周囲は真っ暗で何も見えません。この時に、あなたが乗っているその巨大な物体が「ボール型」なのか「ドーナツ型」なのか判断するにはどうしたらいいでしょうか？

積み木のような小さい物体なら触れば形は分かるし、視界がきけば大きな物体でも見れば判断できるでしょう。では、大きな物体の上に乗っていて周りがまったく見えない時に、その物体の形について情報を得る方法などあるでしょうか？

実は一つだけ方法があります。用意するのは、「無限に燃料が続く車」と「無限に長いロープ」です。そのロープの一端を物体のどこかに縛り（木でも生えていることにしましょう）、もう一端を車に縛り、その状態でこの物体の上を好きなように走り回ります。そして、だいたい物体全体を走り回っただろう、と思えるぐらい時間が経ってから、最初にロープを縛り付けた木まで戻ってくるとします。

さて、木にロープを結んだまま、車に結んだ方を外して、そのまま一生懸命ロープを手繰り寄せてみましょう。無限に長いロープなので時間と体力をかなり使うでしょうが、頑張ってください。

さてこの時、「ボール型」と「ドーナツ型」でどんな違いが生まれるでしょうか？

自分が乗っている物体が「ボール型」であれば、ロープは何にも引っかかることなくすべて手繰り寄せることができるはずです。しかし「ドーナツ型」の場合はそうはいきません。長い時間を掛けてあちこち走り回っているので、必ずドーナツの穴を一周するような方向にも車を走らせているはずです。そうなると、いくらロープを手繰り寄せそうとしても、ドーナツの穴をぐるりと回ったロープは回収できないことになります。

つまり、ロープを回収できれば「ボール型」、できなければ「ドーナツ型」と分かる、ということです。

さて今は、話を簡単にするために、「物体の表面」という2次元について考えました。同じことを、3次元空間でやってみましょう。つまり、地球に生えている木にロープを結び、宇宙船で宇宙全体をあちこち飛び回り、しばらく経ってから地球に戻ってロープを手繰り寄せるというわけです。

この時、先程「物体の表面」の例と同じように、宇宙がどんな形をしているかによって、ロープを手繰り寄せられるかどうかが変わってくる、と分かるでしょうか？（具体的に頭の中でイメージすることはかなり困難だと思うので、2次元で考えてそうだったんだから3次元でもそうだろう、という理解でOKです）

さて、このイメージを使うことで、「ポアンカレ予想」はこんな風に書き直すことができます。

ロープを手繰り寄せた時、引っかかることなくロープを回収できるなら、宇宙は「3次元球面」の形をしている

「ポアンカレ予想」が証明された際、報道などでは「これによって宇宙の形が分かる」と説明されることが多かったのですが、それはこのたとえ話に由来するのでしょう。どのみち、「無限に長いロープ」がないとこの実験はできないのだから、「ポアンカレ予想」が証明されようがされまいが、宇宙の形なんかわかりっこありません。とはいえ、このような喩えは、なかなか理解しにくい「ポアンカレ予想」を理解しやすくしてくれるメリットがあると言えるでしょう。

「ポアンカレ予想」は、何故重要なのか？

「ポアンカレ予想」そのものについては本書を読む以前にも理解していましたが、「ポアンカレ予想はどのように重要なのか？」については、本書を読んで初めて分かったような気がします。ここでは、私なりの理解をなるべく頑張って説明してみましょう。

まず、先程説明した、難しい記述の「ポアンカレ予想」、

Mを3次元の閉多様体とする。Mの基本群が単位群に同型ならば、Mは3次元球面に同相である

について、もう少し詳しく見ていくことにします。

「3次元閉多様体」というのは、「有限で果てがない空間」という意味です。そんなのイメージできない、と思うかもしれませんが、2次元で考えれば私たちの身近に存在します。「地球の表面」です。「地球の表面」は、「有限の面積」で、「どこまで進んでも『果て』となる場所にぶつかることはない」ので、「有限で果てがない」という性質を備えていると言えるでしょう。「3次元閉多様体」の例としては、私たちが生きているこの宇宙を挙げることができます。

「Mの基本群」というのは、先程の思考実験の例で説明するなら、「ロープの巻きつけ方の種類」のことです。

例えば、「ボール型」の場合は、ロープの巻きつけ方は1種類となります。どんな風に巻きつけようが、最終的にロープは必ず回収できるので、ロープをどんな風に巻こうが、それは同じ巻きつけ方、と判定できるというわけです。

しかし「ドーナツ型」の場合は、「ドーナツの穴を通る場合」と「ドーナツの穴を通らない場合」で結果が変わります。前者であればロープは回収できず、後者ならロープは回収できるので、この場合、ロープの巻きつけ方は2種類ある、と考えるわけです。

また「単位群」というのは、同じように思考実験の例を使うなら、「ロープの巻きつけ方は1種類だけです」という捉え方でいいでしょう。

つまり、【Mを3次元の閉多様体とする。Mの基本群が単位群に同型ならば、Mは3次元球面に同相である】は、以下のように書き換えられることになります。

Mが「有限で果てがない空間（例：宇宙）」の場合、「ロープの巻きつけ方の種類」が「1種類だけ」なら、Mは3次元球面と確定できる

これをもう少し書き直すと、

「ロープの巻きつけ方が1種類」なら、「有限で果てがない空間は3次元球面」だ

となります。

つまりこれは、「ロープの巻きつけ方」で「空間の性質」が判断できる、ということになるわけです。

ここからはちょっとさらっといきます。「ロープの巻きつけ方」というのは、数学の世界で「群」と呼ばれるものと関係、「空間の性質」は「位相」と関係します。つまり、「ポアンカレ予想」が証明されることで、「群」の情報から「位相」を知ることができる、ということになるのです。

「位相」というのは、数学の「トポロジー」と呼ばれる分野と関わりますが、この「トポロジー」がなかなか難しいのです。それはつまり、「位相」の情報を直接的に得ることは難しい、ということでもあります。もし「位相」の情報が「群」と関係しているのであれば、「群」を知ることで「位相」の情報を知ることができるわけです。難しい情報を直接取りに行くのは大変ですが、間接的に得られる方法があるのなら便利ですよね。

そして、「ポアンカレ予想」が正しいと証明されることで、「群」から「位相」を知ることができると確定した、というのが、この証明が重要だと考えられている理由なのです。

まあ、我々一般人にはまったくなんのメリットもありませんが、少なくとも数学者にとっては、「群」から「位相」が分かることはとても重要なのでしょう。そしてそのために「ポアンカレ予想」が証明されている必要があった、というわけです。

「トポロジー」から「ガウス曲率」まで

なんとなく「ポアンカレ予想」について理解してもらえたと思いますが、本書ではこの「ポアンカレ予想」を「最終到達地点」として、様々な数学の話が展開されていきます。すべてに触れるわけにはいきませんが、ざっと挙げてみましょう。

まずは、先程少し挙げた「トポロジー」から始まります。最初に出てくるのは、誰もが知っているだろう一筆書きです。「トポロジー」が生まれるきっかけになったとされる「ケーニヒスベルクの橋渡り」という有名な一筆書きの問題を通じて、「トポロジー」とは一体何なのかを理解していきます。そしてその流れで、「ポアンカレ予想」の説明文中にも出てきた「同相」という概念を理解するという構成です。

そこから、「非ユークリッド幾何学」の話になります。「非ユークリッド幾何学」は、一般向けの数学書には結構登場する話題で、もちろん知っている知識も多くありました。でも、本書ほど詳しく書かれた記述はこれまで読んだことがありません。「サッケリの予言的発見」の話や、「ポアンカレ円板モデル」で非ユークリッド幾何学を疑似体験するなど、ワクワクする話題が満載でした。

また、「球面三角形」から「ガウス曲率」に至る流れも興味深いものでした。「球面三角形」とはその名の通り、「球面上に描かれた三角形」を指します。地球上で好きな都市名3つ（例えば「東京」「ニューヨーク」「パリ」など）選び、その3点を結んでできる三角形が「球面三角形」だと考えればいいでしょう。

当然ですがこの「球面三角形」は、普通の三角形と比べて曲がっています。それは、空間が曲がっているからです。つまり、「球面三角形」の曲がり具合が分かれば、空間がどれだけ曲がっているか分かるということになります（当たり前ですね）。そして「空間の曲がり具合（＝ガウス曲率）」は、「球面三角形」の面積を求める過程で導くことができる、とも説明されます。

さて、面白いのはここからです。「ガウス曲率」というのは「外在的な量」で定義されているにも関わらず、「内在的な量」でも表現できることをガウスが証明しました。これは結構凄いことなんですが、ちょっと良く分からないですよね。

ここで、「2次元の生物」を思い浮かべてください。地球の表面のようなところに張り付いていて、ジャンプしたり浮いたりすることができない、というイメージです（実際にこんな生物は存在しませんが）。ではこの生物は、自分がいる物体の表面がどの程度曲がっているのか知ることができるでしょうか？

「どの程度曲がっているか」というのは、物体を外から観察した時に分かること（＝外在的な量）なのだから、物体の表面から出られない「2次元の生物」には知りようがない、と考えるかもしれません。しかし「ガウス曲率」は、「内在的な量」でも定義されているのでした。つまり、「『物体を外から見ないと分からない情報』を知らなくても導き出せる」ということです。

つまりこの「2次元の生物」は、自分が取得可能ないくつかの情報から、自分がいる物体の表面の「ガウス曲率」を導き出せる、ということになります。ガウスはこれを「驚異の定理」と呼んだそうです。

「サーストンの幾何予想」と「リッチフロー方程式」

このような流れを経て、ようやく「最終到達地点」である「ポアンカレ予想」に行き着くのですが、ここで重要なお知らせがあります。それは、「ポアンカレ予想」に挑んだ者（最終的に証明したペレルマンも含めて）は皆、「ポアンカレ予想」を直接証明しようとしたわけではない、ということです。

実は、「ポアンカレ予想」を含むより大きな予想として「サーストンの幾何予想」と呼ばれるものが提唱されていました。つまり、「サーストンの幾何予想」が証明できれば、自動的に「ポアンカレ予想」も証明されたことになるというわけです。

「サーストンの幾何予想」とは何なのかを含め、その辺りの事情をまず説明しましょう。

「サーストンの幾何予想」とは、「3次元閉多様体」に関する予想です。「ポアンカレ予想」の説明文中にも出てきた単語ですね。さて、ポアンカレは「ロープの巻きつけ方が1種類なら宇宙は3次元球面だ」と言ったわけですが、「3次元閉多様体」と呼ばれる空間には、他にもいろんな可能性が考えられます。そこでサーストンは、「じゃあ3次元球面以外には、どんな形がありえるだろう？」と考えるわけです。そしてすべての「3次元閉多様体」は、「8種類の基本となる多様体」の組み合わせだろう、と予想しました。

どういうことでしょうか？

レゴブロックのようなものを想像してみてください。そのレゴブロックのようなものを駆使すれば、様々な形が無限に作れます。しかし、作られたものを部品1つ1つに分解していくと、元となるレゴブロックのような部品は8種類しか存在しない、というわけです。同じように、「3次元閉多様体」にも様々な形のものがあるけれども、それらは「8種類の基本となる多様体」を組み合わせることで出来上がるのではないか、というのが「サーストンの幾何予想」です。

では何故「サーストンの幾何予想」を証明すると「ポアンカレ予想」を証明したことになるのでしょうか。サーストンは、「基本となる8種類の多様体」を具体的に示しているわけですが、その8種類の中で、「ロープの巻きつけ方が1種類の多様体」は「3次元球面」しかないと分かっているからです。

つまり、「サーストンの幾何予想」が証明されると、

「ロープの巻きつけ方が1種類」なら、「有限で果てがない空間は3次元球面」だ

と分かるので、「ポアンカレ予想」も証明できるということになります。

さて、この「ポアンカレ予想」の証明にはもう1つ、強力な武器の登場が必要でした。それが、「リッチフロー方程式」です。ハミルトンという数学者が、物理学の「熱力学方程式」を応用して生み出したこの方程式こそが、「ポアンカレ予想」攻略の最大の鍵であり、ペレルマンもこの手法を使って最後のピースを埋めました。

理系分野は大体そうでしょうが、「証明の最後のピースを埋めた人物」が「証明を成し遂げた人物」として称賛されます。しかしペレルマンにしても、「サーストンの幾何予想」や「リッチフロー方程式」が存在しなければ「ポアンカレ予想」の証明を完成させられなかったでしょう。本来的にはもっと多くの人間が評価されるべきだと思うのですが、数学に限らず研究の世界においては、「称賛されるべき1人（1団体）」が決まらなければならない感じがあるので、なかなか難しいなと思います。

そして「ポアンカレ予想」の証明へ

さてそれでは、「サーストンの幾何予想」がいかにして証明されていったのか、その最後の部分を見ていくことにしましょう。

まず、「リッチフロー方程式」という武器を開発したハミルトン自身が、「リッチ正」という条件付きで「サーストンの幾何予想」を証明しました。しかし「リッチ正」という条件を付けない形での証明はできなかったのです。これは要するに、「補助輪付きでは自転車に乗れたけれど、補助輪を外したら倒れてしまう」ようなものだと言っていいでしょう。補助輪を外しても自転車に乗れることを示した人間が勝者となります。

さてハミルトンはもちろん、「リッチ正」という条件を外した証明を試みるわけですが、その過程で「葉巻型特異点」という大問題が発生してしまう可能性に直面しました。つまりハミルトンは、「リッチ正という条件を外してサーストンの幾何予想を考えた時に生まれてしまう葉巻型特異点の問題を除けばすべて解決」というところまで持っていったわけです。

ここまでくれば、ペレルマンが何をしたのかは理解しやすいでしょう。「リッチ正」という条件における「葉巻型特異点」に立ち向かったわけです。

そしてペレルマンは、「リッチフロー方程式」に「手術」と呼ばれる改良を施すことで、最終的に「リッチ正という条件において、葉巻型特異点は現れないこと」を証明することに成功します。

こうして「サーストンの幾何予想」が正しいことが証明され、それによって「ポアンカレ予想」の正しさも自動的に証明されることになった、という流れになるわけです。

何となく理解していただけたでしょうか。

最後に

相変わらずこのシリーズは、数学的にかなり高難度の記述をしながらも、「頑張ってついていけばどうにか理解できなくもない」というレベルまできちんと読者を連れていってくれるのが素晴らしいと思います。とはいえ、「数学ガール」シリーズにしては、「ポアンカレ予想」に直接的に斬り込んでいく記述が少ない、という風にも感じたので、「数学ガール」でさえ正面突破が難しい難問なのだなと改めて実感させられました。

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